在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們的學(xué)生用墨斗體驗(yàn)點(diǎn)動(dòng)成線，用橢圓規(guī)浪漫地認(rèn)識(shí)橢圓，用日晷、滴漏認(rèn)識(shí)時(shí)間，用激光測(cè)距儀、測(cè)距測(cè)畝輪、手機(jī)軟件、測(cè)繩、直尺甚至身體去認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度。

可以看到，在學(xué)生學(xué)習(xí)長(zhǎng)度的過(guò)程中，濃縮融合了人類的整個(gè)測(cè)量史，了解了測(cè)量的演進(jìn)和文化，所依靠的就是這幾種學(xué)具，而在我們學(xué)校的全景數(shù)學(xué)體驗(yàn)館中，萬(wàn)物皆可為學(xué)具，當(dāng)然也包括我們的老師。

突破傳統(tǒng)學(xué)具認(rèn)識(shí)和使用的天花板

(相關(guān)資料圖)

我們努力讓每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可體驗(yàn)、可操作、可躬行、可六覺(jué)，突破“頸上數(shù)學(xué)”的窘境，真正實(shí)現(xiàn)了具身地學(xué)、全身心地學(xué)。當(dāng)學(xué)生使用完這么多的學(xué)具，也就在一定程度上，涵養(yǎng)好了學(xué)生各方面的動(dòng)手能力和行動(dòng)的素養(yǎng)。

這根紙條是每一屆學(xué)生一開(kāi)學(xué)都會(huì)“動(dòng)一動(dòng)”的學(xué)具，它的背后是我們對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的突破，是創(chuàng)編的1-6年級(jí)的非傳統(tǒng)數(shù)學(xué)。

一開(kāi)始，我讓孩子們把紙的兩端接起來(lái)，形成一個(gè)圈，大家都折成了一個(gè)圈。接著，我啟發(fā)學(xué)生，就像紙圈一樣，可以正著接也可以反著接，所以凡事都可以正著做一做，反著做一做，正著想一想，反著想一想，很多事一旦反過(guò)來(lái)做，反過(guò)來(lái)想，可能就有不一樣的結(jié)果和發(fā)現(xiàn)。就像這個(gè)紙圈，正著接的圈剪開(kāi)是兩個(gè)圈，反著接的圈剪開(kāi)竟成了一個(gè)圈，孩子們?cè)诒陡姓鸷澈腕@奇的同時(shí)，也啟迪了他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

通過(guò)學(xué)具的演示，我告訴大家，很多事情，不能只顧著急著做，要適時(shí)地暫停下來(lái)，從頭回顧、記錄、反思實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，總結(jié)下經(jīng)驗(yàn)再繼續(xù)。例如數(shù)學(xué)的猜想，先實(shí)驗(yàn)再記錄，然后從頭觀察找到規(guī)律，最后按規(guī)律去猜想。我們啟蒙了孩子追問(wèn)、聯(lián)想、猜想的意識(shí)，還在無(wú)形之中給孩子們講述了非歐幾何的內(nèi)容，讓他們認(rèn)識(shí)了空間圖形，更看見(jiàn)了數(shù)學(xué)的另外一張面孔，高度激發(fā)了學(xué)生的興趣和好奇心，超越了數(shù)學(xué)涵養(yǎng)，乃至以后生活、工作都不可或缺的通用素養(yǎng)。

這正是我們一直主張和踐行的數(shù)學(xué)教育，一定不止于數(shù)學(xué)。教師每一節(jié)課都應(yīng)去思考，除了數(shù)學(xué)，還可以讓孩子獲得哪些可遷移的，超越數(shù)學(xué)的通用素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生超越學(xué)科的成長(zhǎng)？

打破"視聽(tīng)學(xué)、紙上學(xué)、學(xué)紙上"的

天花板

我們提倡數(shù)學(xué)教育的“生活實(shí)驗(yàn)”是指讓學(xué)生在自己真實(shí)的生活情境中，以生活本來(lái)的樣子真實(shí)地生活，真實(shí)地去做真實(shí)的事兒，真實(shí)地經(jīng)歷生活的實(shí)際，解決真實(shí)的生活問(wèn)題，獲得真實(shí)生活能力和生活經(jīng)驗(yàn)，真的能做成事兒，并自然地習(xí)得相應(yīng)的知識(shí)、技能和必備的核心素養(yǎng)！我以南京赫賢學(xué)校學(xué)生剛剛做過(guò)的“我來(lái)分餅”和“我定柜位”兩個(gè)典型的“生活實(shí)驗(yàn)”來(lái)介紹一下我們的教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施及反思。

7個(gè)一樣的 餅平均分給8個(gè)人，你會(huì)怎么分呢？

我調(diào)查過(guò)20多位老師（其中，小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師2人，中學(xué)特級(jí)教師兼校長(zhǎng)1人）、3位國(guó)家教育媒體記者、2位我們學(xué)校打掃衛(wèi)生的阿姨、還有我一位徒弟的媽媽（居家主婦）。打掃衛(wèi)生的阿姨、家庭主婦給的分配方案完全不同，而老師給出的大都是如下兩種分配方案：一是把每個(gè)餅平均分成8等份，一共分成了56等份，每個(gè)人取其中7份；二是8個(gè)摞在一起，平均切成8等分，8個(gè)餅摞在一起，接近20厘米厚，用刀平均分成8份根本不現(xiàn)實(shí)。

調(diào)查完后，我回到班里，組織二年級(jí)兩個(gè)班的孩子分別進(jìn)行了生活實(shí)驗(yàn)。之所以稱之為生活實(shí)驗(yàn)，而不是教學(xué)，因?yàn)椋覀兪钦娴哪昧苏娴娘灒娴慕o孩子，讓孩子們真實(shí)操作，自己去分、取到屬于自己的餅。它就是活生生的真實(shí)生活，做真真切切的事兒。

此時(shí)，二年級(jí)的孩子剛剛學(xué)習(xí)完表內(nèi)乘法，還沒(méi)學(xué)過(guò)除法。我把孩子每8人一個(gè)小組，每個(gè)小組一個(gè)操作臺(tái)。每個(gè)操作臺(tái)上有一個(gè)大菜板，一把刀，7個(gè)白面餅，10余副衛(wèi)生手套。一開(kāi)始，先明確他們要做的事兒：張老師老家在山東，給你們帶來(lái)一些山東面餅，但因餅的數(shù)量有限，張老師一合計(jì)，你們每組分7個(gè)餅剛好夠分。現(xiàn)在你們要想辦法把7個(gè)餅平均分給小組里的8個(gè)人，分配好后，可以帶回家和家人一起分享。

要做的事兒明確后，我就在旁邊欣賞、激勵(lì)、提醒注意用刀安全和衛(wèi)生，至于怎么分， 完全放手讓孩子自己去嘗試和研究。經(jīng)過(guò)嘗試、分析和討論，5組孩子一共給出了以下四種分餅方案。

第1種：每個(gè)餅平均分成8份，每人分得7小塊。

第2種：把其中6個(gè)餅平均分成4份，一共分24大塊，剩下的一個(gè)平均分成8小塊，每人分得3大塊和1小塊。

第3種：把其中4個(gè)餅平均分成2份，一共分8大塊，剩下的3個(gè)都平均分成8小塊，一共分成24小塊，每人分得1大塊和3小塊。

第4種：把其中4個(gè)餅平均分成2份，一共分8大塊，把其中2個(gè)餅都平均分成4份，一共分8中塊，剩下的1個(gè)平均分成8小塊，每人分得1大塊、1中塊和1小塊。

在分法的分享交流中，最后孩子們一致選擇最后一種分法。因?yàn)樗麄冋J(rèn)為這種分法又省事（切的刀數(shù)少）、切掉的渣最少、塊數(shù)也最少、拿到手的餅更整、更方便、看著也更舒服……

南京赫賢學(xué)校的學(xué)生在分餅

原來(lái)，學(xué)校打掃衛(wèi)生的阿姨和我徒弟媽媽（家庭主婦）的分法，就是二年級(jí)孩子發(fā)現(xiàn)并最終選擇的分餅方案：先分4個(gè)，每人1/2個(gè)；再分2個(gè)，每人1/4個(gè)，最后一個(gè)8等分，每人1/8個(gè)。

還沒(méi)學(xué)除法的二年級(jí)孩子、打掃衛(wèi)生的阿姨和家庭主婦竟然給出了比老師們更合理、更生活、更現(xiàn)實(shí)的分法。這種最生活的分法其實(shí)就是7/8=1/2+1/4+1/8，這正是印度分?jǐn)?shù)都寫(xiě)成分子是1的分?jǐn)?shù)之和的根源和依據(jù)。

后來(lái)，我把二年級(jí)的分法轉(zhuǎn)達(dá)給了我前期調(diào)查的數(shù)學(xué)老師們，那位參與調(diào)查的初中數(shù)學(xué)特級(jí)校長(zhǎng)發(fā)出這樣的感慨：“（我）變成2年級(jí)了，知識(shí)越多似乎越笨了。”徒弟的媽媽也對(duì)徒弟感嘆到：“哎，到底不是做事的人，想的都是數(shù)學(xué)方法。”

原來(lái)，數(shù)學(xué)真的不等于生活，做題真的不等于做事，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力根本不等于解決實(shí)際問(wèn)題的能力。而我們數(shù)學(xué)教育所有課程和教學(xué)都應(yīng)該更多地指向生活、指向了做事、指向了真題解決。

針對(duì)行列和數(shù)對(duì)的學(xué)習(xí)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一系列游戲。

（1）讓孩子自己扎氣球，記住自己扎破的氣球的列與行，并用數(shù)對(duì)記錄（就是自己的幸運(yùn)獎(jiǎng)位置）；

（2）根據(jù)自己記錄的數(shù)對(duì)，在大櫥子上找到相應(yīng)的位置，取出自己幸運(yùn)獎(jiǎng)品；

（3）學(xué)生角色扮演：新上崗的司藥，為自己編制抓藥的索引。

一開(kāi)始，學(xué)生做的索引是數(shù)對(duì)+藥名，如：（1，1）地膚子 ，（1，2）茯苓 ，（1，3）冬瓜子……在模擬實(shí)際找藥時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣編根本不能用，還不如直接找呢，這就是典型的數(shù)學(xué)都會(huì)，用的也對(duì)，就是解決不了實(shí)際問(wèn)題。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生們決定改用藥材首字首字母+數(shù)對(duì)的方式作為索引，再操作時(shí)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)對(duì)起作用了。

而面對(duì)首字首字母相同的藥材，學(xué)生們又發(fā)明了首字首字母+次字首字母+數(shù)對(duì)的方式來(lái)解決問(wèn)題。

有的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了這樣的現(xiàn)實(shí)和問(wèn)題：有的藥店的藥柜，每個(gè)抽屜左、右兩邊裝著不同藥。學(xué)生針對(duì)此種情況，又發(fā)明了“字母+數(shù)對(duì)+?或?”的索引……

如此這般，學(xué)生在類似的“數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)進(jìn)階的生活實(shí)驗(yàn)”中，凡事總能多想一點(diǎn)，多看一段，更進(jìn)一步，邊學(xué)邊用，邊用邊學(xué)，學(xué)后續(xù)用，解決實(shí)際問(wèn)題的能力和素養(yǎng)逐步地、進(jìn)階地走向全面、完整、扎實(shí)、深刻、靈活、創(chuàng)新……我們數(shù)學(xué)教育中的“數(shù)學(xué)生活實(shí)驗(yàn)”不僅僅是一般意義上的動(dòng)手操作，而是動(dòng)真格的——是“做真事、真做事”的行動(dòng)，是老師和學(xué)生一起過(guò)美好的數(shù)學(xué)生活，做美好、真實(shí)的事兒，而且在學(xué)會(huì)做事兒的同時(shí)自然地就學(xué)會(huì)了相應(yīng)的知識(shí)，毓養(yǎng)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。一如杜威所言：教育是給學(xué)生一些事情去做，不是給他們一些東西去學(xué)，結(jié)果他們自然地就學(xué)到了東西。

其實(shí)不僅僅是數(shù)學(xué)，其他各科亦如此。如果學(xué)校課程和教學(xué)更多地“生活實(shí)驗(yàn)化”（在真實(shí)的生活中真實(shí)經(jīng)歷，獲得實(shí)際的生活經(jīng)驗(yàn)），就可以在更大程度上打破“視聽(tīng)學(xué)、紙上學(xué)、學(xué)紙上；會(huì)做題，不會(huì)做事，會(huì)解決數(shù)學(xué)題，不會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題，高分低能”的學(xué)習(xí)困局和怪圈。

比如，我們?cè)诓賵?chǎng)奔跑中研究“速度”，在馬路上走出“里和千米”，瓶瓶罐罐中品嘗出“分?jǐn)?shù)和倍”的味道，在承包的菜地里解決“壟數(shù)、肥料、種子、覆膜”等真題，在餐廳里完成最受歡迎美食的統(tǒng)計(jì)，在公園里斷“方向與位置”，在校園里解決真實(shí)的周長(zhǎng)和面積，在間隔遍布的中庭和馬路邊解決植樹(shù)問(wèn)題等。原來(lái)課堂完全可以有另一種樣子，可以有第2空間，第3空間……第n空間。

南京赫賢學(xué)校的學(xué)生在菜地里解決真實(shí)問(wèn)題

我們以天地為課堂，以萬(wàn)物為學(xué)材，胸懷天下，格物致知，知行合一，這本身就是最接地氣的方式，好的習(xí)慣，高的境界和素養(yǎng)。

我們還挖空心思，千方百計(jì)打破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感和心理的天花板，更多地創(chuàng)生各種計(jì)算的游戲和活動(dòng)。讓孩子玩加法器，玩數(shù)學(xué)飛行棋……

南京赫賢學(xué)校的學(xué)生通過(guò)“加·乘五子棋”進(jìn)行學(xué)習(xí)

大家可能會(huì)說(shuō)，那他玩幾次不就膩了嗎？是啊，教師打心底就得悅納一個(gè)現(xiàn)實(shí)，小孩子就是愛(ài)變的，所以我們要先于孩子做出改變，以萬(wàn)變應(yīng)萬(wàn)變。不斷開(kāi)發(fā)各種數(shù)學(xué)學(xué)具、游戲，讓學(xué)生熱血沸騰，樂(lè)此不疲，玩得開(kāi)心，玩得快樂(lè)！

我們深知，興趣、好奇心、熱愛(ài)、信心，這些健康的情感和心理是學(xué)習(xí)，也是做好任何事情最重要的基礎(chǔ)和根本。回到主題，老師還需要捅破什么天花板呢？我們認(rèn)為，不單單是老師要捅破天花板，更重要的是，我們用心、用愛(ài)和信仰引導(dǎo)孩子們自己動(dòng)手，不斷地捅破各種天花板，讓孩子自己看見(jiàn)更廣闊的天空，更豐富的世界，看見(jiàn)更遠(yuǎn)的山。

作者 | 張宏偉（特級(jí)教師，北京全景式數(shù)學(xué)研究中心主任、南京赫賢學(xué)校學(xué)術(shù)總監(jiān)）

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責(zé)編 | 雪峰