題型一：利用勾股定理求線段長

如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，點D為AC邊的中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的長．

(資料圖片)

解：如圖，連接BD.

∵等腰直角三角形ABC中，點D為AC邊的中點，

∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三線合一)，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.

∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.

∴∠FDC＝∠EDB.

在△EDB與△FDC中，

∠ EDB= ∠ C

BD= CD

∠ EDB= FDC

∴△EDB≌△FDC(ASA)，

∴BE＝FC＝3.∴AB＝7，則BC＝7.∴BF＝4.

在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF＝5.

題型二：利用勾股定理作長為的線段

已知線段a，作長為√13a的線段時，只要分別以長為2a和3a的線段為直角邊作直角三角形，則這個直角三角形的斜邊長就為 √13a.

題型三：利用勾股定理證明線段相等

如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，

AD2＝2AB2－CD2.求證：AB＝BC.

證明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．

由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.

又∵AD2＝2AB2－CD2，

∴AD2＋CD2＝2AB2.

∴AC2＝2AB2.

∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．

由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，

∴AB2＋BC2＝2AB2，

故BC2＝AB2，即AB＝BC.

題型四：利用勾股定理證明線段之間的平方關系

如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點P. 求證：BP2＝BC2＋AP2.

證明：如圖，連接BM.

∵PM⊥AB，

∴△BMP和△AMP均為直角三角形．

∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.

同理可得BC2＋CM2＝BM2.

∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.

又∵CM＝AM，

∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.

∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.

∴BP2＝BC2＋AP2.

題型五：利用勾股定理解非直角三角形問題

如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的長．

解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.

∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，

∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，

∴CD＝1/2AC＝5.

∴在Rt△ACD中，

AD＝＝＝5.　

∴在Rt△ABD中，BD＝＝11.　

∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.

題型六：利用勾股定理解實際生活中的應用

在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門規定汽車的最高

行駛速度不能超過60 km/h，并在離該公路100 m處設置了一個監測點A.在如圖的平面直角坐標系中，點A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點B在點A的北偏西60°方向上，點C在點A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．

(1)求點B和點C的坐標；

(2)一輛汽車從點B勻速行駛到點C所用的時間是15 s，通過計算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速．(參考數據：≈1.7)

解：∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，

100＋100/15 ≈18>50/3，

∴這輛汽車超速了．

題型七：利用勾股定理探究動點問題

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，動點P從點B出發沿射線BC以1 cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．

(1)求BC邊的長；

解：在Rt△ABC中，

BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，

∴BC＝4 cm.

(2)當△ABP為直角三角形時，借助圖①求t的值；

故當△ABP為直角三角形時，t＝4或t＝25/4.

(3)當△ABP為等腰三角形時，借助圖②求t的值．

解：①如圖①，當BP＝AB時，t＝5；

②如圖②，當AB＝AP時，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；

③如圖③，當BP＝AP時，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，

在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝25/8

綜上所述：當△ABP為等腰三角形時，

t＝5或t＝8或t＝25/8.

end

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