最近，王玨老師看到一篇文章

是 南密西西比大學數學系終身教授 丁玖寫的

從他個人的角度，探討成為“好教師”的“條件”。

(相關資料圖)

這篇文章并非從“理論”的高度來闡釋

完全是一位30多年教齡

且樂于教學、善于教學的老師的個人感悟，

我覺得很有啟發、也很有共鳴，

它與從“學習科學”理論角度所作出的研究

是完全可以相互印證的！

我由此聯想到最近這些年來，

各種新理念、新概念層出不窮，

卻忽視了老師自身的素質和素養。

事實上，

如果老師自身足夠優秀的話

即使沒有這些新理念、新概念，

同樣可以做出好的教學

數千年來、近百年來、直至當下的教學實踐

無疑都是以上觀點的明證：

即使對于新理念、新概念本身來說

它們是否能落地、能見成效

也依賴于老師的素質和能力！

另一方面，如果這些新理念、新概念逐步被淘汰

一位優秀教師一定仍在發揮他的作用！

以下是丁玖教授的文章 精華摘要

讓我們一起來借鑒一位老教授的教學智慧！

（部分內容后面附上我本人的閱讀心得，希望沒有過多地打擾到大家的閱讀思緒）

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現實中普遍的情況是，大學在讀生或畢業生要么吐槽數學教科書參考書寫得太次，要么埋怨數學正教授副教授教得太差。

倘若一名學生是個有志青年，極具學習的動力，但捧在手里的是粗制濫造甚至錯誤百出的必修教材，聽的是照本宣科或者思維混亂的課堂教學，如果不讓其吐出“把教科書摔掉”或“老師可以休矣”的一聲嘆息乃至滿腔怒火，我們的學校就應該關門。

確實，太多的學生數學沒學好或終生恨數學，一個 重要原因是老師沒教好。因此，探究“數學應該怎么教”是每一位數學教師不得不設法求解的問題，無論他是大學教授還是中小學老師。作為在中國的大學教過三學期基礎或專業課、在美國的大學正式教了近33年書的一位老數學教師，我想分享一下自己對這一問題的認識與實踐，同時傳播我見過的幾個教學名師的觀念與做法。

條件一：熱情似火

美國布朗大學的已故應用數學教授、寫過一本巨著《古今數學思想》的克萊因(Morris Kline，1908-1992)，對于課堂教學有過一段精辟論述和殷切期待，翻譯成中文是：

“我想力勸每位老師成為演員。他必須借助于如劇場用的每一種設備來使課堂技巧 生機盎然。在適當時他可以也應當成為 戲劇性的。他不僅有事實，而且有火。他甚至可以利用近乎怪癖的舉動來激發人們的 興趣。他不應該害怕 幽默，而應將之應用自如。這樣，即使是不相干的笑話或故事也會使課堂極大地 活躍起來。”

數學既是精確演繹的科學，也是語言嚴密的藝術，她不僅難學，而且難教。這就引出教好數學的一項必要條件： 你必須胸中升起克萊因希望你能點燃的激情之火。

【王玨老師呼應：這塊是大家公認、但又不容易解釋的。腦科學研究已經清晰地揭示了 “情感”對“認知”具有極為強大的作用，本公眾號曾發表過多篇文章進行介紹。】

熱愛教書的人幾乎都有“ 大嗓門”的特點，他們講課的聲音可以穿透教室的每一個角落，即便是耳背的退休老人，也可以坐在教室的后排旁聽，清楚地收到年輕時因貪玩沒能學會的知識。 不要低估這個“音響效果”，它是衡量書教得好不好的一個重要指標。

我一生中有幸受教過的幾位數學老師，課堂中無一不以 中氣飽滿留給學生深刻印象。我在南京大學讀大一時教我們《線性代數》的林成森老師，他不光中文字發音清楚，語調抑揚頓挫，而且新出場的數學概念也 解釋得比水晶還一清二楚。我曾在一部回憶錄里寫道：“他的課如果聽不懂的話，只能要問自己的腦子是否要動個小手術了。”

比他講課還要“盡情表演”的要算我在密歇根州立大學時的博士論文導師李天巖教授了。他完全有資格充當克萊因教授的“案例”展現給讀者示范怎樣教書。 那種激情澎湃，那種感染力度，把坐在那里的所有學生都融化了。面對這樣的教書先生，學不好才怪呢。

條件二：胸有丘壑，腹有錦繡

這就引出了教好數學的另一個必要條件：自信不應是盲目的自信，而是來自于對所教學科知識的融會貫通和全面了解。

【王玨老師呼應：融會貫通，是對學科理解的極高要求。按照Shulmal教授所提出的PCK理論，這是屬于CK——“學科內容知識”的范疇。當今比較流行的 “大概念/大觀念”，之所以不容易在一線落地，是因為它要求的并非“教學法知識（PK）”的變革，而是要求老師對“學科內容知識（CK）”有更為深刻的、本源性的理解，這恐怕就超出了大多數老師的現有能力。】

然而，大腦里裝有學科知識與教好這門學科還不能彼此等同。就像有人“生來就會教書”，也有人雖然學富五車，卻不懂“教書藝術”。后者我在中美讀書和教書的生涯中見過一些。滿腦學問的人在教書時可能以為對面的學生腦子和他一樣靈，接受能力和他一樣強，這 大錯特錯。

“教書學”應該有一條公理：“把學生當作‘笨蛋’”。這樣，教書先生就會下功夫做到“將‘笨蛋’教懂”，正如李天巖教授生前所言所做的那樣。懷抱這個信念的教師一定不差！

【王玨老師呼應：我老說“ 說人話”，費曼說“ 能讓12歲的孩子理解”，都是類似的意思……】

有句俗語形象地說出了對老師的教學要求： 要給學生一杯水，教師就得有一桶水。這一桶水包括臨近學科的知識或更高觀點的視野。比方說，《數學分析》的主講老師，如果對近代抽象分析知之甚少，甚至都不知道實變函數或泛函分析的基本內容，可能難以教得“滴水不漏”，當他教到黎曼積分時，不一定能啟發學生思考它的局限或科普更一般勒貝格積分的基本思想。德國數學家克萊因 (Filex Klein，1849-1925) 于1872年提出了著名的埃爾蘭根綱領，將不同幾何看成以不同變換群的某種不變性為其特征，這是對連綿幾千年的幾何學的一個高屋建瓴的近代觀點。他后來寫過一本名著《高觀點下的初等數學》。如果一名中學數學老師對這本杰作的內容有所領會，就會對教學內容有更深刻的理解，甚至可以指導班上那幾個天賦高想吃小灶的少年俊杰盡早接觸高一檔次的數學。

【王玨老師呼應：1、強調老師和研究者必須要站在“高觀點”上，這也是國科大曹則賢教授大力提倡的；2、 與其強調“大概念”，不如強調“高觀點”和“學科底層邏輯”--底層邏輯是我個人特別提倡的】

“一桶水”中還有一部分是從“ 學科史 ”的小溪中流進的。對數學教學，這尤其重要，因為向學生傳輸數學思想的演化以及關鍵數學家的貢獻，不僅豐富了他們對學科的認識，而且也把他們置入了數學文化的氛圍。這還有一項好處，以講幾分鐘故事的方式，讓學生高度繃緊的神經適時放松，提高課堂吸收的效率。當然，這對教師提出了要求：讀一些好的學科史書和數學家傳記，由此 獲得啟發心智的歷史軌跡， 隨時穿插到自己的教學中。

【王玨老師呼應：“學科發展史”是全體老師的必修課，我幾年來一直在呼吁！貌似目前還沒有受到廣大師范院校、教師培訓機構的重視。。。】

寫得好的數學書邏輯嚴密，概念清晰，表達嚴謹，但是為了滿足“不說多余的話”這一寫作基本要求，它同時也詞句精煉。這最后一個特征往往給剛進大學初學高等數學的中學畢業生造成困難，因為他們還在習慣于灌輸式的初等教育。這時好老師的作用如“久旱逢甘霖”，其功能是 溯源概念的直覺原點，幾何化解析術語內涵的邏輯關系，善用通俗易懂的等價說法復述概念的基本思想 。

【王玨老師呼應：非常贊同這3條！個人理解：溯源直覺原點，這跟“學科發展史”有關；幾何化解析，應該等同于我說的“可視化”，通俗易懂的等價方法，大約就是“類比"】

假如一個概念的定義嵌進了好幾個邏輯用詞，像“任給”、“存在”及“使得”的組合句子，非天才的學生可能讀了三遍五遍也可能沒有搞清邏輯關系，那么任課老師怎樣講得讓全班都能聽懂呢？

……我們看看怎樣教“函數的極限”這一概念……這個嚴格的定義是整個微積分的基礎，但是 太多的大學新生剛碰到它時被打得鼻塌嘴歪，包括考進南大數學系77級的一部分聰明人。可以說，能不能把這個定義教得讓幾乎所有同學感到自己的大腦已經“脫胎換骨”，是 衡量能不能成為合格微積分課教師的試金石。

【王玨老師心得：無論教學改革怎么改， ”會講課“始終是老師的核心能力！ 一味強調”學生中心“，和一味強調”教師中心“一樣，都不可取！】

首先，該教師必須對分析數學的基本語言“ε-δ”有深刻的領悟，對ε-δ語言中的邏輯體系透徹了解。他應該用幾何的、易懂的中文語言講解這個數學語言，而不是照本宣科地將整個極限定義讀上幾遍。沒有從根本上啟發性地闡述概念，即便重復陳述定義十遍，即便學生能將它熟記于心，還不能保證他們真正理解了它。

讓我們仔細檢查極限的定義，搞清“任給”和“存在”的邏輯含義。沒人不會不懂“任給一個男人，存在一個女人年齡比他大”的意思，這里只需要找到一個比給定男人歲數大的女人就夠了，而無需找到最老的女人。貌似難懂的極限定義本質上應該和上句 有同樣的邏輯結構，即正數ε給定后，只要找到保證定義末前一不等式隱含后一不等式的 某個正數δ，而無需解出最佳的δ，極限的定義就成立。或言之，滿足要求的這個δ依賴于ε，但它并非隨ε而被唯一確定， 只需找到一個就夠了，而不必費力氣找到“最優”的。

【王玨老師心得：這里丁教授采用的是”類比 “的手法--即前文所說“” 通俗易懂的等價方法。類比，是 借助學生所熟悉的事物/現象/語言，來理解陌生的、晦澀的、抽象的知識——因二者有相同的”內在結構特征“，因此很容易理解，本公眾號有多篇介紹“類比”思維機制的文章。 】

我用一個稍微高級點的數學例子來說明。假設一位動力系統的好手為他的弟子開了一門研究生基礎課《遍歷理論導引》。這門課中的一個經典結果叫做“伯克霍夫逐點遍歷定理”，它的數學結論是一個等式，等式的左端是一個“平均和”的極限表達式，稱為“時間平均”：

lim n →∞ (1/n) Σ k=0 n-1 χ A (S k (x 0 ))，

……（具體講解過程請參見原文）李天巖教授在講解的過程中，手嘴并用，說到上文中的某個“部分表達式”，他的手專指那個部分，學生一邊聽講，一邊目睹， 心領神會。他將時間平均表達式的演化過程講得再清楚不過了，班上的同學從他對概念 來龍去脈的邏輯梳理，輔之于他那 高低起伏的音量調節、 表情豐富的面部變化、 手舞足蹈的肢體表演，一下子明白了這個長式子“不過如此”，順利攻破“時間平均”這塊堡壘。

原文地址：https://mp.weixin.qq.com/s/Jr4AJPD9BtohTPiaRVUt8Q

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